Contributions apportées par les membres de l’AAI
Déterminer la distance, à la surface de la Lune supposée rigoureusement sphérique, entre les centres des cratères Tycho et Bohnenberger.
Coordonnées :
Tycho : Lat : 43,31 ° Sud et Long : 11,36 ° ouest
Bohnenberger : Lat : 16,2 ° Sud et Long : 40 ° Est
Rayon de la Lune : 1737 km
1. Deux participants actifs
Durant l’été, deux adhérents de l’AAI : Gérard Cloarec et Jacques Fonty ont apporté des réponses à la question posée.
- Le premier a d’abord proposé une solution utilisant la relation de Pythagore appliquée au triangle rectangle.
Et une question en retour : une sphère est-elle « pareille » qu’un plan ?
Nous savions l’un et l’autre que non, mais étions un peu dans le flou sur la validité de nos arguments.
Pour sortir de l’impasse, j’ai proposé à Gérard une analogie : « Si tu roulais le papier où tu as tracé ton triangle, cela donnerait un cylindre...
Or la Lune n’est pas une boîte de petits pois, mais une boule. »
Il a promis de rechercher une autre solution. - Le second a apporté une réponse mathématique exacte et m’a même proposé une contre énigme...
2. Une courte séquence à la salle Arago
La séance du vendredi 6 octobre 2017 a été en partie consacrée à la présentation de deux solutions : l’une « manuelle » et l’autre mathématique.
L’occasion de retrouver les deux participants de l’été.
3. La solution de Gérard Cloarec
Notre premier intervenant avait apporté un globe terrestre sur lequel, en utilisant les repères de coordonnées, il avait reporté les positions de quelques cratères lunaires. Voir l’image :
Résumé de sa démarche :
1. Mesure de la circonférence du globe terrestre à l’équateur : 950 mm
2. En utilisant les méridiens et parallèles du globe, reporter les positions des deux cratères (G.C. a effectué des calculs permettant de positionner exactement les points à partir des lignes. Lui demander des éclaircissements sur sa méthode si vous le souhaitez).
3. En utilisant un ruban, mesurer la distance entre Tycho et Bohnenberger (la « ligne droite ») : 136 millimètres.
4. Le rayon de la Lune mesure 1736 km (valeur donnée dans la question).
La circonférence à l’équateur est alors :
2 x 3,1416 x 1736 km =10907,6352 km
Et la distance Tycho-Bohnenberger : 10907,6352 x 136 mm/ 950 mm = 1549,24 km
La méthode élégante est simple, la bonne humeur de Gérard... tout ceci était réjouissant.
4. La solution de Jacques Fonty
Notre second intervenant avait apporté son ordinateur sur lequel il a fait vivre (par ses commentaires) quelques figures simples.
En quelques minutes, Jacques a dissipé le « flou ».
Par exemple : une sphère, un plan -> pas la même géométrie.
L’importance de cercles « découpés » dans une sphère (penser aux différentes façons de découper une orange...) et en particulier des « grands cercles »... chaque « chose » (ou mot, ou concept...) trouvait sa place.
Au départ, Jacques n’avait pas le beau rôle... et pourtant il fut écouté avec beaucoup d’attention et son intervention s’est révélée assez réjouissante et très utile.
5. « Ma » solution : le passage par Python
En la circonstance, l’utilisation du langage de programmation Python n’a rien de magique. Mais cela présente deux avantages :
– l’ordinateur calcule avec plus de précision qu’une calculatrice,
– Le code est entré dans un éditeur de texte ce qui règle les problèmes de fautes de frappes.
Voici la réponse obtenue :
Distance Tycho-Bohnenberger : 1549.7617806366377 km (!!!!)
6. En conclusion
L’énigme de l’été était une bonne idée : elle a permis de faire fonctionner autrement « l’intelligence collective » de l’AAI.
7. Exemple de code Python
#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-
# distance entre deux cratères
#~ Formulaire tiré d'un support de l'IGN
#~ (Service de la Géodésie)
# http://geodesie.ign.fr/contenu/fichiers/Distance_longitude_latitude.pdf
from math import sin, pi, cos, acos
rayon_lune = 1737.0 # Rayon moyen de la Lune en km
lat_phiA = 43.31 # Latitude Tycho
lat_phiB = 16.2 # Latitude Bohnenberger
long_deltaA = 11.36 # Longitude Tycho
long_deltaB = -40 # lLongitude Bohnenberger
d_delta = long_deltaA - long_deltaB
print("difference : ",d_delta)
def deg_rad(deg):
# Convertit les degrés et décimales en radians
return (deg *pi)/180
premier_terme = sin(deg_rad(lat_phiA)) * sin(deg_rad(lat_phiB))
second_terme = cos(deg_rad(lat_phiA))* cos(deg_rad(lat_phiB))* cos(deg_rad(d_delta))
somme = premier_terme+second_terme
arc = acos(somme)
distance = arc * rayon_lune
print("Premier terme en radians : ", premier_terme)
print("Second terme en radians : ", second_terme)
print("Somme des termes : ", somme)
print("Arc sous-tendu entre les croix : ",arc)
print ("Tycho - Bohnenberger (km) : ",distance)
print("Tir au canon ")
portee = 2*rayon_lune*(sin(arc/2.))
print("Corde : ",portee)