Estimer la distance angulaire apparente entre la Lune et Saturne

Quelques démarche autour d’une photo.
Cet article a mobilisé beaucoup d’échanges et de critiques et a été repris plusieurs fois de façon à lever les ambiguïtés qui figuraient dans la première rédaction.

Article mis en ligne le 11 avril 2019

dernière modification le 1er novembre 2022

À partir de notions simples de mathématiques, essayons d’être astucieux

1. La « bosse des maths » n’existe pas

Les évaluations sur la réussite des élèves d’une même classe d’âge, dans des pays différents montrent que les petits Français ne réussissent pas aussi bien que d’autres enfants de nations industrialisées équivalentes.
(Voir par exemple : https://www.linternaute.com/actualite/education/1310839-pisa-2019-combien-de-points-obtient-la-france/)

Chez nous existe un mythe : celui de « la Bosse des Maths ».
Certains l’auraient, et d’autres pas.
C’est très commode et cela fournit une bonne excuse :
– Aux élèves : « Cet pa ma fotte, jé pa la bausse des mattes ».
(Autrement dit j’ai le droit de persister dans la médiocrité).
– Au système d’instruction public qui peut, en toute bonne conscience par rapport à l’opinion publique, considérer que l’échec est admissible.

Assez curieusement, dans les pays où ce mythe n’existe pas, les enfants réussissent mieux.

Et pourtant, les maths cela s’apprend. Comme le vélo ou la couture.
Il faut pour cela réunir les conditions de tout apprentissage et accorder un horaire hebdomadaire adapté à la difficulté de la tâche.

2. Mais à quoi bon ?

« J’entends bien votre argument, mais à quoi bon passer tant de temps sur une discipline qui ne servira jamais à rien pour le plus grand nombre ? »

Le petit problème suivant donne un exemple de l’utilité, pour un astronome amateur, d’avoir au moins quelques connaissances mathématiques.

3. Les données du problème

Gérard Cloarec a capturé une image de la Lune qui contient également la planète Saturne.

Image conventionnelle d’un rapprochement apparent.
"Sachant que le diamètre apparent de la Lune est, en moyenne, proche de 30 minutes d’arc (un demi degré), pouvons-nous estimer la distance APPARENTE entre le centre de la Lune et Saturne ?
– Estimer selon quelle unité ?
– En diamètre apparent de la Lune, par exemple. Mais aussi en degrés.
– Une mesure d’angle alors ?
– ... oui."

Sur l’image précédente, on a ajouté :
– Les lettres A et B, qui désignent les positions des pôles lunaires. La distance AB représente le diamètre polaire de la Lune.
Cette distance, quand elle est vue depuis la Terre, correspond à un angle de 30 minutes d’arc.
– Un point blanc, complété de la lettre C, représentant le centre du cercle qui englobe l’image de la Lune (il s’agit d’une approximation : la Lune n’est pas totalement sphérique).
– Le point D correspond à la position apparente de Saturne.

4. La carte n’est pas le territoire...

Le géographe qui dessine une carte oublie parfois la réalité en trois dimensions qu’il représente.
Monde réel, monde de papier. Le second n’étant qu’une représentation commode du premier.

Le monde de papier, c’est la photographie : on peut y mesurer des dimensions, en centimètres, millimètres...

Le monde en trois dimensions, c’est le système Solaire avec la Lune, Saturne, notre oeil qui vise dans une direction puis dans une autre.
Entre des deux directions, on peut définir un plan et un angle.

Poussé par un souci d’exactitude, Jean-Louis Betoule a réalisé un dessin qui représente le passage du monde en trois dimensions à celui, en deux dimensions, de la photographie.

Le segment [AB] n’est pas un angle.
Le segment [CD] n’est pas un angle.
La photographie est une représentation en deux dimensions d’un phénomène astronomique dont elle conserve les rapports apparents de proportionnalité.

5. La réponse de Gérard Cloarec

Gérard aime bien imprimer les images de façon à pouvoir réfléchir « hors écran ».

Sa réponse a été la suivante :
Je dirai un degré.
Mes calculs trouvent 0,988 , en faisant le rapport du rayon lunaire 1730 kms et la distance 380000 kms, je trouve une tangente à 0,0045526 qui donne 0,26 degrés
multiplié par deux cela fait pour la Lune 0,52 degrés .
Sur la photo la lune fait 10cm et la distance centre Lune et Saturne fait 19cm .
$0,52 \times \frac {19}{10} = 0,988$ soit environ 1 degré.

Commentaires :
– Le fait d’utiliser un support matériel aide à se rassurer et facilite le raisonnement.
– Gérard utilise la fonction tangente, parce qu’il a retenu cela de son apprentissage initial ou de sa pratique professionnelle.

5. Une méthode qui utilise le logiciel graphique GIMP

Il s’agit d’une approche « tout écran », qui conviendra aux personnes qui apprécient l’informatique.

Un petit rappel sur les guides et l’outil de mesure de GIMP, sous la forme d’une vidéo (elle procède lentement).
https://www.youtube.com/watch?v=49xPTq13QR4

En utilisant l’image ci-dessus et l’outil de mesure des distances en pixels, on relève :

AB = 226 pixels (pour 30 minutes d’arc).
CD = 426 pixels
Distance angulaire du centre de la Lune à Saturne :
${ 30 \times 426 \over 226 } \simeq 56,5$ minutes d’arc. Soit presque un degré.
( $56,5 / 60 \simeq 0,94$ )

6. Une méthode qui utilise le logiciel Inkscape

Inkscape est un logiciel libre (et gratuit) de dessin vectoriel.
Il peut importer des photos (JPEG, PNG...) ce qui permet par exemple de « décalquer » des contours depuis l’image.
On peut ensuite « sortir » l’image du dessin obtenu, ce qui l’allège grandement : le vectoriel est léger quand il s’agit d’un tracé simple.

Jean-Louis Betoule propose une solution qui simplifie les calculs, mais qui ressemble en partie aux méthodes précédentes, à ceci près que Inkscape définit un cercle par son centre et son diamètre, qui nous intéresse ici :

Il écrit :
Rapport des diamètres ${ 225,6 \over 60, 4} \simeq 3,7$

Angle : ${0,5\over2} \times 3,7 \simeq 0,9$ degré

Et ça peut se faire sur le papier, avec un double décimètre.